Dráha Halleyovy komety

Theoretical path of Halley's Comet reaches far beyond the Neptun planet. Comet recedes from the Sun at a distance of 35.1 AU.

Jsou knihy, ke kterým se rádi vracíme. Pro mě je jednou z nich kniha od Vladimíra Železného - Návraty první dámy. Kniha nesmírně poutavě vypráví o Halleyově kometě a o periodických návratech komety do blízkosti Země. V širokém historickém záběru od prvních záznamů o kometě v čínských kronikách, přes Halleyovu předpověď jejího návratu pro rok 1758, až po příští očekávaný návrat v roce 2061.

E. Halley dráhu komety "První dáma" nevypočítal podle astronomických zákonů, nýbrž dobu dalšího návratu komety předpověděl z historických dat o průletech komet. O matematické řešení dráhy Halleyovy komety a obecně i jiných podobných komet se pokoušela celá plejáda nejlepších počtářů, matematiků, astronomů a fyziků z celého světa. Byli mezi nimi Newton, Olbers, Dörfel, Bessel, Halley, Flamsteed, Lagrange a řada dalších. Matematický génius C. F. Gauss dokázal ze tří astronomických měření na krátkém pozorovaném úseku dráhy, vypočítat šest parametrů, které dráhu tělesa v prostoru charakterizují. Ze středního denního pohybu nebo střední úhlové rychlosti lze pak stanovit odpovídající teoretickou dobu oběhu periodické komety.

Gaussova metodika výpočtu parametrů dráhy Helleyovy periodické komety je nesmírně citlivá na přesnost dat z pozorovaní. Zde svou negativní roli sehrává rozhodující fáze dráhy, Dörfelova zatáčka, kde se nám buď dráha komety ztrácí za Sluncem nebo ji v konjukci při přechodu komety přes Slunce nepozorujeme. Dráha této komety má vysokou numerickou excentricitu blížící se jedné a v pozorovaných částech dráhy je dráha astronometricky reprezentována téměř přímkou.

Můj zájem o projektování teoretické dráhy Halleyova komety podnítil obrázek z citované knihy popisující dráhu komety ve Sluneční soustavě. Pro pedagogické účely by numerický model pohybu komety ve sluneční soustavě splnil své poslání. NASA a americká universita CALTECH shromažďují, vypočítávají a publikují charakteristiky pohybu komet. Jedna fyzikální veličina, důležitá pro numerické modelování této dráhy, se bohužel v literatuře a na internetu nenachází. Doufám, že se svou znalostí zákonů nebeské mechaniky dokážu tento problém vyřešit.

jsou uvedeny tyto orbitální údaje o dráze Halleyovy komety, která procházela přísluním v roce 1986:

Z uveřejněných dat NASA sestavme výpočetní model JPL-CALTECH. Model je charakterizován následujícími dráhovými a dynamickými veličinami.

Veličiny	vzorec	hodnota	jednotka	hodnota	jednotka
parametr elipsy	p	1,152702	AU	1,7244E+11	m
numerická excentricita	e	0,967143	-	-	-
průvodič na ose apsid	q1= p / ( 1+e )	0,586	AU	8,7661E+10	m
hlavní poloosa	a = p / ( 1 - e² )	17,834	AU	2,6680E+12	m
vedlejší poloosa	b = ( p x a )^0,5	4,534	AU	6,7828E+11	m
excentricita dráhy	ex = a - q1	17,248	AU	2,5803E+12	m
průvodič na ose apsid	q2 = 2 x a - q1	35,082	AU	5,2483E+12	m
doba oběhu Halleyovy komety	P	75,32	roků	2,3770 E+09	s

Nikdy moc nevěřte všem v literatuře uváděným datům. Především se jedná o vstupní údaje. Proto si také některé ze vstupních dat namátkou zkontrolujeme s jinými zdroji, ovšem tak aby to nestálo peníze.

Pro účely numerického programování potřebujeme v této úloze mít analyticky vyřešenou rychlost v určitém bodě dráhy, zpravidla v perihelu dráhy. Vstupními veličinami jsou pak délka průvodiče q₁ a rychlost komety v₁ .

Zde nám vyšla vstříc Evropská kosmická agentura ESA, která v roce 1985 vyslala k pozorování průletu Halleyovy komety periheliem sondu "Giotto". Sonda se setkala dne 14. 3. 1986, po 37 dnech od průletu komety přísluním, s prolétající Halleyovou kometou ve vzájemné vzdálenosti pouhých 605 km.

Sonda se od osy apsid komety za dobu 37 dní vzdálila o úhel α = ( 37dní : 304,8 dní ) x 360° = 43,7°.

...........................................d = 2 x r_s x sin α = 2 x 1,0962E+11 x 0,69 = 1,5147E+11 m.

..............................................z = r_s x cos α = 1,0962E+11 x 0,72 = 7,9251E+10 m ;

Vrchlík sečny pro dráhu komety ( křivost dráhy komety je dvojnásobná než je křivost dráhy sondy):

...........................................t = d² x ( 8 x ( 2 x r_s ))^-1 = 1,3081E+10 m ................................................

.......................q₁ = z + t = 7,9251e+10 + 1,3081E+10 = 9,2332E+10 [ m ] = 0,62 AU......................

Vzhledem k tomu, že jsme délku průvodiče q₁ počítali pouze orientačně můžeme říct, že údaj uváděný NASA je správný.

Je to základní vstupní údaj pro numerické modelování dráhy Halleyovy komety. A zde je ta potíž o níž byla řeč v úvodu. V literatuře se tento údaj nevyskytuje. Pokusím se ze zákonů nebeské mechaniky odvodit potřebný vzorec pro rychlost komety v perihelu.

Periodická kometa s vysokou numerickou excentricitou, prolétající přísluním ve vzdálenosti q₁ od Slunce, se pohybuje rychlostí jen o něco nižší než je úniková rychlost tělesa ze Sluneční soustavy.

Z Bičanovy nebeské mechaniky pro kruhovou rychlost tělesa na poloměru q₁ platí:

............................................v(k) = ( B / q₁ )^0,5= 3,8905 E+04 [ m/s ] ............................................( 1 )

.............................................v(p) = 2^0,5 x v(k) = 5,5020 E+04 [ m/s ] ...........................................( 2 )

.............................................v₁ = ( 1 + e )^0,5 x v(k) = 5,4566 E+04 [ m/s ]....................................( 3 )

B = 1,326851E+20 [ m³ x s^-2 ] je Bičanova všeobecná konstanta přitažlivosti.

Je to kontrolní údaj. Poslední tři průlety Halleyovy komety perihelem se uskutečnily 5. února 1986, 20. dubna 1910, 16. listopadu 1835.

- mezi průlety komety perihelem podle Juliánského kalendáře uplynulo celkem 54 868 dní;

...........................................P = 150,22 / 2 = 75,11 roků = 2,3703E+09 [ s ]..............................( 4 )

V některém programu na příklad Famulus, Octave, Matlab aj., si již můžete naprogramoval krátký program numerického modelování pro pohyb tělesa v radiálním gravitačním poli Slunce s těmito vstupními parametry:

Výstupy programu Vás zajisté nadchnou. Pro časový krok h = 900 ( s ) si můžete vychutnat v afelu důstojný, relativně pomalý pohyb "První dámy", která se zde, na obrátce své úzké eliptické dráhy pohybuje rychlostí pouze 911 m/s.