TRAJEKTORIE LETU NA MARS

©Marie Palmerová

Abstract. Marie Palmer: Flight Trajectory to Mars

A space mission to Mars over the trajectory Palmer.

HOHMANOVA ELIPSA

Dvě války a světová hospodářská krize. Tak lze stručně charakterizovat první desetiletí nového století. Sen o dalším dobývání vesmíru a vyslání expedice na nejbližší planety se nám vzdaluje o desítky let. Války snad pominou a možná se zlepší i ekonomická situace.

Cílem první expedice astronautů bude zřejmě planeta Mars. Start expedice na pilotované kosmické lodi k " Rudé planetě " lze očekávat asi tak někdy v padesátých letech 21. století. Do té doby se musí vyřešit řada technických, ekonomických a jiných problémů spojených s meziplanetárními lety.

Jedna ze základních otázek, kterou nutno řešit, je problematika trajektorie a délky pobytu posádky ve vlastní kosmické lodi při letu na Mars a zpět. V prvním přiblížení tuto otázku řešil německý stavební inženýr W. Hohmann. V roce 1925 navrhl Hohmann především z energetického hlediska výhodnou trajektorii letu k jiným planetám. Touto trajektorií je půl-elipsa, která se ve dvou bodech dotýká kruhových drah planet. Nevýhodou této trajektorie je, že doba letu kosmické lodi je dlouhá. Doba trvání cesty kosmické lodi ze Země na Mars po Hohmanově trajektorii je 254,6 dne.

Expedice na Mars vyžaduje vzlet kosmické lodi z parkovací dráhy u planety Země ve správném čase, v tzv. startovacím okně. Toto startovací okno je dáno potřebou určité vzájemné polohy Marsu a Země při vzletu kosmické lodi tak, aby v afelu eliptické dráhy kosmické lodi se současně setkala trajektorie kosmické lodi a trajektorie planety Mars. Startovací okno pro expedici na Mars po Hohmanově půl-elipse má hodnotu + 46,6 stupňů. Je to úhel, o který v okamžiku vzletu předbíhá planeta Mars polohu Země.

Během pobytu na planetě Mars posádka lodi plní uložené vědecké úkoly. Pro návrat kosmické lodi z Marsu má startovací okno hodnotu + 71,3 stupně. Při přistání na Zemi se současně setkává trajektorie kosmické lodi a trajektorie planety Země. V literatuře uváděná startovací okna pro odlet posádky z Marsu po dvou měsících nebo po 226 dnech pobytu, neexistují. První vhodný termín pro odlet posádky z Marsu zpět na Zemi je po 471 dnech pobytu.

Takto by vypadal harmonogram Hohmanovy expedice na Mars se startem v roce 2050:

Akce	Startovací okno	Juliánský den	Datum	Trvání v měsících
Vzlet od Země	+46,6 st	2469943,5	17.5.2050	začátek
Přistání na Marsu	x	2470198,5	27.1.2051	8,5
Pobyt na planetě	x	471 dní	x	15,2
Vzlet od Marsu	+71,3 st	2470669,5	12.5.2052	x
Přistání na Zemi	x	2470924,5	22.1.2053	8,5

Celková doba potřebná pro Hohmanovu expedici na Mars a zpět činí 32 měsíců. Pro ekonomické hodnocení trajektorie se počítá přírůstek rychlosti pro vzletový manévr od Země a přírůstek rychlosti pro parkovací manévr u planety Mars. U Hohmanovy trajektorie činí tyto potřebné zálohy rychlosti dv1 = 3,5 km za sekundu a dv2 = 2,3 km za sekundu, celkem záloha rychlosti 5,8 km za sekundu.

OFSETOVÉ ELIPSY PALMEROVÉ

Z teoretického hlediska lze překlenout kosmický most mezi Zemí a Marsem celou řadou různých ofsetových ( částečných ) elips, které mají společné ohnisko Slunce a v afelu své trajektorie se dotýkají dráhy Marsu. Jednotlivé trajektorie se liší dobou letu a potřebnou zálohou na zvýšení rychlosti kosmické lodi. Doba letu po ofsetových elipsách Palmerové je podstatně kratší než Hohmanova trajektorie a to až o polovinu času ( OEP II ).

Pro výpočet charakteristik ofsetových elips budu používat vzorců Bičanovy nebeské mechaniky a Keplerovu časovou rovnici. Předvedu dvě ofsetové trajektorie, speciální OEP I a obecnou ofsetovou trajektorii OEP II. Eliptické trajektorie kosmické lodi jsou řešeny v prvním přiblížení, předpokládají se kruhové dráhy obou planet.

Realizace ofsetových elips vyžaduje, aby posádka kosmické lodi a řídící středisko zvládli vzletový manévr, který spočívá v udělení požadované heliocentrické rychlosti ve správném směru.

Ofsetová elipsa Palmerové OEP I

Tato speciální trajektorie je charakteristická tím, že vzlet kosmické lodi KL je v určitém bodě eliptické trajektorie [ 0; p ]. Pro tento bod platí, že parametr eliptické dráhy p se rovná poloměru dráhy Země R(Z).

OBR 1 - Vzlet a trajektorie kosmické lodi KL k Marsu

Výpočet charakteristik dráhy OEP I:

Doba letu kosmické lodi na Mars po trajektorii Palmerové OEP I trvá přesně 5 měsíců a let je o 3,5 měsíce kratší než let po Hohmanově půl-elipse. Nutná záloha rychlosti činí dv1+dv2 = 5,1 km za sekundu. Tato trajektorie je ještě méně energeticky náročná než Hohmanova trajektorie.

Ofsetová elipsa Palmerové OEP II

Ofsetové elipsy Palmerové II mají kratší poloosu a než OEP I. Kratší poloosu a lze volit až po určitou minimální hodnotu. Vzlet kosmické lodi je v bodě elipsy [ -ep; b ]. Použitím OEP II se zkracuje doba letu kosmické lodi. Energetická náročnost manévrů roste od minimální hodnoty po poměrně značnou náročnost.

Výpočet charakteristik dráhy OEP II:

Průběh expedice na Mars po trajektorii Palmerové OEP II + OEP I se startem v roce 2050 je následující:

Akce	Startovací okno	Juliánský den	Datum	Trvání v měsících
Vzlet od Země	+ 7,9 st	2470027,5	9.8.2050	začátek
Přistání na Marsu	x	2470172,5	1.1.2051	5
Pobyt na planetě	x	526 dnů	-	17
Vzlet od Marsu	+ 58,1 st	2470698,5	10.6.2052	x
Přistání na Zemi	x	2470848,5	7.11.2052	5

Celková doba expedice na Mars a zpět by trvala 27 měsíců, což je o 5 měsíců méně než Hohmanova expedice. Doba ztrávená letem v kosmické lodi je o 7 měsíců kratší než u Hohmanovy expedice.

Dnes jsme zase o kus cesty blíže svým snům. Marie Palmerová.

28. září 2010

Děkuji za pozornost.