LIBRAČNÍ BODY PALMEROVÉ V PROBLÉMU TŘÍ TĚLES

© Marie Palmerová

1. ÚVOD

Obecný problém dvou gravitačně vázaných těles analyticky vyřešil po 400 letech od publikování Keplerových zákonů český fyzik Rostislav Bičan. Vyřešením Keplerovy úlohy si R. Bičan zabezpečil nesmrtelnost a místo po boku bohů na řeckém Olympu. O problému tří gravitačně vázaných těles dokázal matematik H. Poincaré, že tento problém nemá obecné analytické řešení. Při vlastním řešení problému tří těles využíváme proto spojení intuitivního řešení s metodami numerické matematiky.

Existuje jedno japonské přísloví. Tam kde se sejde trojice rovných, po čase jeden z nich se od skupiny odpojí. Toto pravidlo je zajisté platné i v nebeské mechanice, ale existují z něho i v životě výjimky, například rodinné svazky otec, matka a dítě. Taktéž v nebeské mechanice najdeme řadu podobných rodin, u nichž se dráha tří těles cyklicky opakuje. Například vztah tří těles Slunce - Země - Měsíc.

V této práci si poněkud podrobněji probereme organizaci planet v planetárním systému naší hvězdy Slunce. Tento planetární systém je vícečlenný, ale pro názornost a kontrolu výsledků lze podle zadání vždy některá tři tělesa ze systému vyčlenit. Jelikož tato práce má označení originálu, pak podávám také vlastní řešení problému tří těles pro nekonečnou řadu libračních bodů Palmerové P v trojúhelníkových konfiguracích Slunce - Země - Těleso. Důkazem správného řešení je rovnováha sil a grafický výstup počítačového programu.

2. PLANETÁRNÍ SOUSTAVA SLUNCE

Planetární soustavu Slunce tvoří centrální hvězda Slunce a osm obíhajících planet. Hmotnost centrálního tělesa (dvakrát deset na třicátou kilogramů ) značně převyšuje hmotnost všech obíhajících planet. Více než 4,5 miliardy let existence sluneční soustavy dokazuje, že planety na svých dráhách se vzájemně neovlivňují i když procházejí postaveními dolní konjunkce nebo opozice. Existuje tedy něco jako bezpečná vzdálenost dvou těles soustavy. Cílem této kapitoly je určit tuto hranici.

Pro dráhy planet platí první Keplerův zákon:

" Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách málo odlišných od kružnic. Slunce se nachází ve společném ohnisku těchto elips."

Další vnitřní řád pro pohyb planet objevil R. Bičan a je popsán v jeho práci [ 1 ] - Princip organizace sluneční soustavy. Jeho věta o organizaci planet sluneční soustavy zní:

" Planety jsou uspořádány ve směru od Slunce podle doby oběhu. Doba oběhu je kvantována v závislosti na původním pořadovém čísle dráhy n. Původní doby oběhu planet tvoří Thovtovu geometrickou řadu."

Zde nutno dodat, že podle teorie R. Bičana v současné době šest z jeho dvanácti základních planet sluneční soustavy již neexistuje, prostě zmizely. Původní pořadí planet podle čísla dráhy je následující:

1 - Merkur, 2 - Seshet, 3 - Venuše, 4 - Země, 5 - Mars, 6 - Aztlan, 7 - Kronos, 8 - Krios, 9 - Jupiter, 10 - Faethon, 11 - Saturn, 12 - Okeanos. Následují Uran a Neptun jako periferní planety.

Podle Bičanova zákona [ 1 ] by například planeta Země na dráze 4 měla původní dobu oběhu:

.............P(Z) = P₁ x φ^{( n - 1 )} = 87,97 x 1,618 ^{( 4 - 1 )} = 372,6 ( 365,3 ) dne .................................( 1 )

kde, P₁ je doba oběhu první planety (Merkur), φ =1,618 je Thovtova matematická konstanta, n je původní pořadové číslo planety.

Metodami numerické matematiky budu nejprve řešit soustavu tří těles Slunce - Země - Mars. Grafický výstup počítačového programu pro tyto tři tělesa nevykazuje žádné známky poruchy drah pro dvě sousedící planety, Zemi a Mars. Provedu nyní matematický rozbor vztahů. Bičanův vzorec ( 1 ) mě umožní určit onu " bezpečnou vzdálenost " dvou těles sluneční soustavy.

Pro dobu oběhu planety platí Bičanův zákon:

......................................P = 2 x π x B ^-0,5 x R^1,5 .........................................................................( 2 )

Podle Bičanova principu organizace je podíl doby oběhu planet Mars a Země rovný konstantě φ. Po provedení této matematické operace dostaneme vztah:

................................... φ = ( R₅ / R₄ )^1,5 .....................................................................................( 3 )

kde, R₄ je ekvivalentní poloměr dráhy Země, R₅ je ekvivalentní poloměr dráhy planety Mars.

Pro ekvivalentní poloměry dvou sousedních drah platí vztah:

...................................R_n= φ ^{( 2/3 )} x R_{n -1} =1,38 x R_{n -1} .............................................................( 4 )

Teorie Palmerové:

Rozdíl mezi ekvivalentními poloměry sousedních drah udává "bezpečnou vzdálenost" mezi planetami v radiálním směru. Kolem planety lze vymezit operační zónu planety. Pro planety je to vzdálenost ( 0,38 x R ) ve směru pohybu planety. Třetí těleso o hmotnosti planety se pak může nacházet kdekoliv mimo tuto výseč.

3. NEKONEČNÁ ŘADA LIBRAČNÍCH BODŮ PALMEROVÉ

Při jednom oběhu Země kolem Slunce vytyčí planeta operační prostor Země ve tvaru prstence. Mimo tento prstenec, v menší nebo větší vzdálenosti od Slunce se nacházejí ostatní dráhy známých planet. Pokud chceme zkoumat nějaké nové postavení třetího tělesa, pak nám zbývá pouze vlastní eliptická dráha planety Země mimo výseč operační zóny planety.

Operační zóna planety nám vytyčuje výsek dráhy Země o vrcholovém úhlu 2 x 22 stupňů. Mimo tento výsek se může nacházet třetí těleso, až planetární hmotnosti. Palmerové konfigurace pro ostatní vrcholové úhly α zahrnuje nekonečný počet poloh třetího tělesa.

Zákon Palmerové:

„Librační body soustavy Slunce - Země - Třetí těleso , existují pro úhly 22º < α < 338º. Libračních bodů Palmerové je na dráze planety nekonečný počet a hmotnost třetího tělesa může dosáhnout běžné hmotnosti planet.“

Palmerové zákon ( 5 ) platí pro oběh těles po eliptických i kruhových drahách. Všechna tři tělesa v jednotlivé konfiguraci zaujímají navzájem stále stejné postavení. Gravitační síly jsou vyrovnané. Podmínkou setrvání třetího tělesa v libračním bodě je, že těleso má odpovídající heliocentrickou rychlost.

J. L. Lagrange určil na dráze Země pouze tři librační body L3, L4 a L5. Hmotnost třetího tělesa určil jako malou a zanedbatelnou vzhledem k dvěma ostatním tělesům.

4. ROVNORAMENNÁ KONFIGURACE P 30 O VRCHOLOVÉM ÚHLU 30º

Tato kapitola zahrnuje výpočetní program a jeho grafický výstup z rovnoramenné konfigurace Palmerové pro tři tělesa Slunce - Země - Třetí těleso o hmotnosti planety. Vrcholový úhel u Slunce je rovný 30 stupňům. Program je sestaven pro kruhové dráhy planety Země a Třetího tělesa.

Fyzikální veličiny jsou zadány v soustavě SI. Hmotnost m [ kg ], poloha x,y [ m ], čas t [ s ], rychlost v [ m/s ], zrychlení a [ m / s² ]. Vstupní veličiny byly získány analytickým řešením problému dvou těles Slunce-Země.

- těleso [ 1 ] je Slunce,

- těleso [ 2 ] je Země,

- těleso [ 3 ] je třetí těleso v libračním bodě.

Program je zpracován v českém počítačovém programu Famulus.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PR3T.FM Palmerová: Problém tří těles Slunce-Země-Třetí těleso, m1 >> ( m2 + m3), úhel 30 stupňů

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------- konstanty a proměnné --------------------------------------------------------

i=3 ! počet těles

j=1 TO i ! index

dt=300 ! časový krok výpočtu

B=1.3268509e20 ! Bičanova konstanta pritažlivosti

INT n

REAL x[ j ]

REAL y[ j ]

REAL vx[ j ]

REAL vy[ j ]

REAL m[ j ]=(1.9880e30,5.9962e24,4.0e24) ! hmotnosti Slunce, Země a třetího tělesa

R2=1.495874e11 ! ekvivalentní poloměr dráhy Země

v=2.978266e4 ! heliocentrická oběžná rychlost Země

------------------------------počáteční hodnoty --------------------------------------------------------------------

t=0

x[ 1 ]=(0); y[ 1 ]=(0); vx[ 1 ]=(0); vy[ 1 ]=(0) ! poloha a složky rychlosti Slunce

x[ 2 ]=(R2); y[ 2 ]=(0); vx[ 2 ]=(0); vy[ 2 ]=(v) ! poloha a složky rychlosti Země

x[ 3 ] = ( R2*cos( pi/6)) ! poloha a složky rychlosti třetího tělesa

y[ 3 ] = ( R2*sin( pi/6))

vx[ 3 ] = ( - v*cos( pi/3))

vy[ 3 ] = ( v*sin( pi/3))

------------------------------------------------model ---------------------------------------------------------------

FOR n=1 TO i DO

x[ n ] = x[ n ] + vx[ n ]*dt ! nová poloha těles

y[ n ] = y[ n ] + vy[ n ]*dt

SetMark( 1,5 )

SetColor( 1,0 )

Disp(1, x[ n ], y[ n ] )

FOR j=1 TO i DO

IF j <> n THEN

r=sqrt(( x[ n ] -x[ j ] )^2 + ( y[ n ] - y[ j ] )^2 )

Q =B / m[ 1 ] ! gravitační parametr soustavy Slunce

F= Q * m[ n ] * m[ j ] / ( r * r ) ! gravitační síla

fx= -F*( x[ n ] - x[ j ]) / r; fy= -F*( y[ n ] - y[ j ]) / r ! složky grav.síly

ax= fx / m[ n ]; ay= fy / m[ n ] ! složky zrychlení

vx[ n ] = vx[ n ] +ax * dt; vy[ n ] = vy[ n ] +ay * dt ! složky rychlostí

ELSE END

END

SetMark( 1,1 )

SetColor( 1,1 )

Disp(1, x[ n ], y[ n ] )

x1=x[ 1 ]; y1=y[ 1 ]

x2=x[ 2 ]; y2=y[ 2 ]; vx2=vx[ 2 ]; vy2=vy[ 2 ]

x3=x[ 3 ]; y3=y[ 3 ]; vx3=vx[ 3 ]; vy3=vy[ 3 ]

END

t= t + dt

P= t / 86400

WRITELN P

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

GRAF 1

Grafický výstup počítačového programu PR3T.FM dokazuje, že v dlouhodobém časovém horizontu nedochází k poruchám žádné dráhy. Řešení pro vrcholový úhel 30 stupňů je stabilní. Tutéž stabilitu vykazují dráhy těles pro vrcholové úhly 45 st, 51 st, 63 st, 90 st, 120 st a větší do 342 st. Pro úhel 180 stupňů je řešení nestabilní.

Rovnoramenná konfigurace Palmerové pro tři tělesa Slunce - Země - Třetí těleso, má nekonečný počet libračních bodů. Hmotnost třetího tělesa může dosáhnout běžné hmotnosti planety.

Kdyby někdy v budoucnosti chtěli lidé opustit planetu Zemi, pak by mohli najít nový domov především v některém libračním bodě Palmerové.

Zpráva pro obyvatele planetky B 612: " Na Zemi je jaro, Malý princi."

Děkuji za pozornost.

Gravimetrie Země. O charakteristikách planety Země:

http://www.bicanr.sweb.cz/GRAVIM.html

Marie Palmerová, březen 2014

Copyright © 2014 by Marie Palmerová. All rights reserved.

Literatura:

[ 1 ] Bičan R: Princip organizace sluneční soustavy, internet, r. 2004